1 referat.ro

download referat

2. FUNCŢII Prin funcţie (aplicaţie) f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B se înţelege orice procedeu (lege sau convenţie) prin care oricărui element x din A i se asociază un unic element y notat cu f(x) din B.  A – mulţimea pe care este definită funcţia sau domeniul de definiţie al funcţiei;  B – mulţimea în care ia valori funcţia sau domeniul valorilor funcţiei sau codomeniul funcţiei;  f – lege sau procedeu sau convenţie;  f: AB sau A B sau xf(x) – “f definită pe A cu valori în B”;  xA – variabilă independentă sau argument;  y=f(x)B – imaginea lui x prin funcţia f sau valoarea lui f în x sau variabilă dependentă;  Im(f)= { f(x) | xA} – imaginea funcţiei f. Moduri de a defini o funcţie: a) sintetic – numind pentru fiecare element în parte din A elementul ce i se asociază din mulţimea B; b) analitic – specificând o proprietate ce leagă elementul x din A de elementul y=f(x) din B. Graficul unei funcţii: Gf={(x, f(x)) | xA}. Tabel de valori: Injectivitate: f injectivă sau injecţie dacă 1) x1,x2A, xy  f(x1)f(x2); sau 2) x1,x2A, f(x1)= f(x2)  x1= x2; sau 3) orice paralelă dusă la axa OX prin codomeniu intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. Surjectivitate: f surjectivă sau surjecţie dacă 1) yB xA astfel încât f(x)=y; sau 2) orice paralelă dusă la axa OX prin codomeniu intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct. Bijectivitate: f bijectivă sau bijecţie dacă 1) injectivă + surjectivă; sau 2) orice paralelă dusă la axa OX prin codomeniu intersectează graficul funcţiei într-un singur punct. Compunerea funcţiilor:  f: AB, g: BC, h: AC, h(x)=(g○f)(x)=g(f(x));  f: AB, g: BC, h: CD  h○(g○f)=(h○g)○f. Funcţii inversabile:  f: AB, g: BA, (f○1A)(x)=f(x) şi (1A○g)(x)=g(x);  f: AB – inversabilă dacă  g: BA astfel încât (f○g)(x)=1B(x) şi (g○f)(x)=1A(x);  f inversabilă  f bijectivă;  g(x)=f -1(x);  graficele funcţiilor f şi f -1 sunt simetrice faţă de prima bisectoare y=x. Funcţii pare şi impare:  f pară dacă f(-x)=f(x), are graficul simetric faţă de axa OY;  f impară dacă f(-x)=-f(x), are graficul simetric faţă de origine. Funcţii periodice: f: A|R, A|R  f periodică dacă T0 astfel încât xA f(x+T)=f(x) şi x+TA;  T este perioada lui f;  cel mai mic T este perioada principală. Restricţia unei funcţii: f: AB, CA este funcţia fC: CB astfel încât fC(x)=f(x). Funcţii egale: f1 : A1 B1 , f2 : A2 B2 se numesc egale dacă : A1= A2 , B1=B2, şi x A1 f1(x)= f2(x). Funcţii monotone: f: AB, x1,x2A  f strict crescătoare pe A  (x1x2  f(x1)f(x2));  f strict descrescătoare pe A  (x1x2  f(x1)f(x2));  f strict monotonă pe A dacă f este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe A;  f crescătoare pe A  (x1x2  f(x1) f(x2));  f descrescătoare pe A  (x1x2  f(x1) f(x2));  f monotonă pe A dacă f este crescătoare sau descrescătoare pe A;  x1x2 , R(x1,x2)= - rata creşterii (descreşterii) funcţiei f.