1 referat.ro

download referat

Prefaţă Această lucrare a fost realizată cu sprijinul corporaţiei „Paul & Co.” şi se adresează unor anumite categorii de persoane, şi anume elevilor de liceu care doresc să-şi aprofundeze cunoştinţele în domeniul matematicii. De asemenea această sinteză, scurtă şi la obiect, a funcţiei de gradul II este foarte utilă elevului modern din ziua de astăzi care nu se omoară cu învăţatul şi doreşte să facă într-aşa fel încât să scape cât mai repede. Lucrarea de faţă nu numai că-l face să reţină esenţialul într-o perioadă relativ scurtă, ba chiar îl poate atrage, şi pe viitor, cu siguranţă va rezerva mai mult timp studiului. Cuprins Partea teoretică…………………………………………………... pg 4 – 8 Definiţia funcţiei de gradul II. Exemple…………………………... pg 4 Variaţia funcţiei de gradul II şi reprezentarea grafică……………... pg 4 Forma canonică……………………………………………………. pg 4 Maximul şi minimul……………………………………………….. pg 5 Sensul de variaţie (intervalele de monotonie)……………………... pg 5 Reprezentarea grafică a funcţiei pătratice…………………………. pg 6 Trasarea curbei reprezentative a unei funcţii pătratice……………. pg 7 Semnul funcţiei pătratice………………………………………….. pg 8 Partea aplicativă…………………………………………………. pg 8 – 9 A. Partea teoretică 1. DEFINIŢIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE Definiţie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a 0, funcţia f : RR definită prin formula: f(x) = ax² + bx + c se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţii a, b, c. 1) Deoarece domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este R vom indica această funcţie astfel: f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx + c 2) O funcţie de gradul al doilea f : RR, f(x) = ax² + bx + c este perfect determinată când se cunosc numerele reale a, b, c (a  0). 3) Trebuie să observăm că în definiţia funcţiei de gradul al doilea condiţia a  0 este esenţială în sensul că ipoteza a = 0 conduce la funcţia de gradul întâi, studiată în clasa a VIII-a. 4) Denumirea de funcţie de gradul al doilea provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² + bX + c. Exemple de funcţii de gradul al doilea 1) f1 (x) = 7x² - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10); 2) f2 (x) = 2x² + 2x + 1, (a = 2, b = 2, c = 1); 3) f3 (x) = 0.51x² - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0); 4) f4 (x) = x² + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31); 5) f5 (x) = -x² - 5x – 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31). 2. VARIAŢIA Şi REPREZENTAREA GRAFICĂ A FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA  Forma canonică Reamintim că pentru orice x  R ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] Rezultă că pentru orice x  R, avem f(x) = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] (1) Membrul drept al egalităţii (1) se numeşte forma canonică a funcţiei pătratice. Numărul Δ = b² - 4ac, discriminantul ecuaţiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeşte discriminantul funcţiei pătratice. Observăm că f(-b/2a) = -Δ/4a Exemple a) 2x² - x + 3 = 2[x² - 1/2x + 3/2] = 2[x² - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)² + 23/16] = 2(x – 1/4)² + 23/8; b) -3x² - 4x + 5 = (-3)[x² + 4/3x - 5/3] = (-3)[x² + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)² - 19/9] = (-3)(x +2/3)² + 19/3  Maximul şi minimul Exemple a) f : RR, f(x) = 2x² - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)² + 23/8,  x  R, deci f(1/4) = 23/8 şi f(x)  f(1/4),  x  R. Rezultă că 23/8 este cea mai mică valoare sau minimul funcţiei f pe R. b) f : RR, f(x) = -3x² - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)² + 19/3,  x  R, deci f(-2/3) = 19/3 şi f(x)  f(-2/3),  x  R Rezultă că 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul funcţiei f pe R. În general, având în vedere forma canonică a funcţiei pătratice f(x) = ax² + bx + c şi faptul că f(-b/2a) = -Δ/4a, rezultă că pentru orice x  R f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)² Constatăm că semnul diferenţei din membrul stâng depinde de semnul numărului a, deci pentru orice x  R avem: o dacă a > 0, f(x)  f(-b/2a), deci f admite un minim pe R; o dacă a < 0, f(x)  f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R; Fie funcţia f : RR, f(x) = ax² + bx + c, a  0. o Dacă a > 0, minimul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este –b/2a. o Dacă a < 0, maximul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este –b/2a.  Sensul de variaţie (intervalele de monotonie) Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale funcţiilor g şi h definite pe R, g(x) = x - 2 + 3 şi h(x) = -x + 3 + 1. Avem: g(x) = x + 1, x  2 h(x) = -x - 2, x  -3 -x + 5, x < 2 x + 4, x < -3 Funcţia g are minimul în punctul x = 2 (g(x)  g(2), adică x - 2 + 3  3 sau x - 2  0,  x  R) şi este strict descrescătoare pe (-∞; 2], strict crescătoare pe [2; + ∞). Funcţia h are maximul în punctul x = -3 (h(-3),  x  R) şi este strict crescătoare pe (-∞; -3], strict descrescătoare pe [-3; + ∞).